¿Por que es inestable la vibración de una cuerda entre dos ruedas con tracción?

Pues porque se trata de un sistema caótico. En este tipo de sistemas, una ligerísima variación en uno de los parámetros iniciales, conduce a una enorme desviación en el resultado final.

El ejemplo clásico de sistema caótico es el golpe de apertura en una partida de billar. La bola blanca golpea al triángulo de bolas de colores que salen en todas direcciones. ¿Sería posible predecir desde el punto de vista de la física dónde va a acabar cada una? La respuesta es que en teoría sí sería posible, pero eso requeriría una información absolutamente precisa de la geometría de cada bola, su elasticidad, su posición inicial sobre el tapete, el coeficiente de rozamiento de cada punto del tapete, la posición inicial de la bola blanca, el punto exacto de impacto del taco, el coeficiente de rozamiento entre taco y bola, etc, etc.

Si no conoces con exactitud uno de esos datos y lo sustituyes por una aproximación, entonces la predicción que puedas calcular se alejará mucho de la realidad, incluso aunque la aproximación fuera muy buena (muchos decimales). La trayectoria inicial de la bola real sería muy próxima a la de la calculada, pero a medida que te alejas del instante inicial, la separación entre realidad y modelo irá siendo cada vez mayor.

Otro ejemplo es la predicción del clima, por idénticas razones. Por eso es más fácil acertar el tiempo que hará mañana que el que hará dentro de una semana.

¿Y qué relación tiene esto con la goma elástica del vídeo? Pues que para que la vibración fuera estable, la goma "real" debería tener exactamente los mismos parámetros que la goma "ideal" en la que tú pensabas cuando creiste que el movimiento debería ser estable. Debería tener exactamente el mismo grosor y densidad en todos sus puntos (pues si no es así algunas partes son más elásticas que otras), la rueda que ejerce sobre ella la tracción debería girar a una velocidad perfectamente uniforme (e incido en "perfectamente"), y tener el mismo coeficiente de rozamiento con la goma en toda la superficie de contacto, lo que implica también un radio de curvatura perfectamente constante, etc..

Cuando cualquiera de estos "perfectamente" deja de serlo, introducimos una ligera variación en las condiciones iniciales del sistema caótico, lo que lleva a pequeños desajustes que se van amplificando con el paso del tiempo y "degeneran" en movimientos aparentemente caprichosos e impredecibles.

Mira otro ejemplo de sistema caótico, con unos ingredientes tan simples como un chorro de sirope derramado a velocidad constante sobre una cinta transportadora que avanza a velocidad constante. Si estos "constante" fueran perfectamente exactos, no ocurriría lo que puedes ver en el vídeo:

http://www.youtube.com/watch?v=CMYISqxS3K4