¿Por que los electrones no acaban cayendo al núcleo del átomo?

El secreto es la mecánica cuántica. Explicar la mecánica cuántica de un átomo no es trivial pero resumiendo mucho y con el temor de que otros físicos me peguen por simplificar tanto las cosas, la función de onda de un electrón tiene un tamaño típico (longitud de onda de Compton) similar al tamaño de un átomo. El electrón en un átomo de hidrógeno no cae hacia el protón porque su función de onda es tan grande como el propio átomo de hidrógeno y no tiene donde caer, simplemente queda ligada al núcleo por un campo electromagnético.

Creo que, aunque las dos respuestas anteriores son correctas, no lo son al nivel que parece preguntado por Kyuubi.

En el modelo atómico de Bhor, el electrón sigue una trayectoria circular alrededor del núcleo. Si se igualan la fuerza centrífuga con la fuerza de atracción, como si fuera un planeta, se tendría una situación de equilibrio y se puede calcular la energía en función de la distancia al núcleo. [http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_at%C3%B3mico_de_Bohr](http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_at%C3%B3mico_de_Bohr "modelo de Bohr")

Pero hay un problema. Según la electrodinámica clásica, un electrón acelerado emitiría energía en forma de radiación electromagnética y por tanto se perdería energía con el tiempo (cosa que no ocurre con las órbitas de los planetas). Ello daría lugar a que el electrón cayera en el núcleo. Bohr solucionó esto indicando que el átomo es estable y por tanto esa radiación no tiene lugar. Además, si se admitían ciertos postulados, se describía con una precisión altísima el espectro del átomo de hidrógeno.

Más adelante se reformuló la mecánica cuántica con otros postulados. Ahí es donde las dos respuestas anteriores van encamindas.

La cuestión es que estás hablando de un sistema que no obedece las leyes de la física a las cuales estamos acostumbrados, el átomo obedece la ecuación de Schrodinger. Esto implica que nuestra intuición no es válida en la mayoría de los casos (si no es que en todos). Todos esos argumentos que intentan conciliar nuestra intuición con la cuántica muchas veces son simples medios pedagógicos para que no sea tan abstracta en un principio.

Una vez que tenemos la ecuación de Schrodinger y la resolvemos para el átomo de hidrógeno vemos que las órbitas atómicas son estables, opuesto al o que nuestra intuición indica.