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¿Qué es el Principio de Recurrencia de Poincaré?

A proposito de la pregunta Principio de Hamilton y Segunda ley de la Termodinámica propongo las siguientes cuestiónes.
¿Qué es el principio de recurrencia de Poincaré?
¿No viola la segunga ley de la termodinámica?

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preguntado el 12/02/11 a las 20:30

Rikki
151●6

editado el 12/02/11 a las 21:07

gmedina
1293●3●9

2 Respuestas:

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Respondo la parte matemática de la pregunta. La formulación matemática del principio de Poincaré es la siguiente: sea $(X,\Sigma,\mu)$ un espacio de probabilidad y sea $f:X\rightarrow X$ una transformación que preserva la medida, entonces, para todo $A\in\Sigma$ , el conjunto $\{\, x\in A \mid \forall n (n\in\mathbb{N}\Rightarrow f^{n}(x)\notin A)\,\}$ tiene medida cero.

En términos intuitivos, lo que afirma el principio de Poincaré es que "casi todo" punto de $A$ retorna a $A$ en algún momento. De hecho, se puede ver que "casi todo" punto de $A$ retorna a $A$ infinitas veces, en el sentido de que $\mu\big(\{\,x\in A\mid\textup{existe } N\in\mathbb{N} \textup{ tal que }f^n(x)\notin A \textup{ para todo } n>N\}\big)=0$ .

respondido el 12/02/11 a las 21:06

gmedina
1293●3●9

editado el 12/02/11 a las 23:17

Es A una partición de (tex)Sigma(/tex). (No estoy seguro de que el término partición sea adecuado en este contexto, pero espero que se entienda)

( el 14/02/11 a las 16:59) Askedton

No. A es cualquier elemento de la sigma-álgebra Sigma; en particular, A es un subconjunto de X.

( el 14/02/11 a las 18:11) gmedina

Bueno, tras la explicación matemática de gmedina. La interpretación física es la siguiente:

Supongamos que tenemos un gas en una caja donde todas las partículas están concentradas en una esquina de la misma. Sabemos que expontáneamente el gas ocupará todo el volumen disponible. Esto implica un aumento de la entropía.

Todas las partículas concentradas en la esquina de la caja definiría un punto en el espacio de fases del sistema (un punto en $A$ ). Lo que dice el teorema de Poincaré es que si esperamos un tiempo el sistema, en evolución dinámica, vuelve a $A$ a un punto tan cercano como queramos del original (es decir, el gas se concentrára otra vez en la esquina de la caja donde estaba inicialmente). Esto implicaría una disminución de la entropía. Esto supondría un problema sí.

Pero, el teorema no dice en qué tiempo el sistema vuelve a un estado cercano al original. De hecho, este tiempo se denomina tiempo de recurrencia, y se puede mostrar que este tiempo es esencialmente infinito (o monstruosamente grande). Esto es porque el tiempo de recurrencia es inversamente proporcional a la medida del conjunto al que queremos regresar, por lo tanto si la medida es nula o muy pequeña, el tiempo que tendremos que esperar para ver la recurrencia será infinito o enormemente grande.

Para saber lo que es la medida y un conjunto de medida nula: ¿Qué es un conjunto de medida nula?

respondido el 14/02/11 a las 18:22