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Ok, ya me solventaron la duda sobre si el conjunto de los numeros racionales era numerable o no (pregunta previa: ¿es el conjunto de los numeros racionales numerable?) y sí lo es, entonces: Al poder asignar a cada número racional un número natural, ¿Podemos deducir que dentro del conjunto de los números racionales existe el mismo número de números naturales como no naturales?. Si es así. ¿Cuales son las probabilidades de eligiendo un número racional al azar obtener un número natural cualquiera? Deberían ser 0.5 deacuerdo a la cantidad de elementos pero mi instinto me dice que habiendo infinitos números racionales entre cada número natural las probabilidades van a ser 0. ¿Es cierto? ¿como es posible? [Siento muchísimo el lio que he montado con las ediciones y re-ediciones, está claro que no ando muy listo hoy] |
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Tal como se ha visto en otra respuesta y en los comentarios, dependiendo de la manera en que se dispongan los racionales, se pueden obtener diferentes valores para la densidad de Por otro lado, en cuanto a la pregunta original sobre la probabilidad, esta pregunta no admite una respuesta tan sencilla como la análoga para el caso de los reales y los racionales (que se puede consultar aquí). En primer lugar, (tal como sugerí que debía hacerse en la otra pregunta) se debe aclarar con respecto a qué distribución se hace la elección al azar. En este caso en concreto, las cosas no son tan simples como en la otra pregunta, ya que allí era posible asumir que se estaba considerqando el caso de una distribución "razonablemente buena"; aquí, por el contrario, no es claro cómo escoger una distribución razonable y sin tener esto claro es imposible hablar apropiadamente de la probabilidad pedida. Adenda: para complementar la respuesta, a partir del comentario de Bala, explico aquí en detalle la noción de densidad a la que me referí antes, que no es otra cosa que una extensión sencilla de la noción de densidad natural: sea Como consecuencia inmediata, la densidad de Quieres decir que dependiendo de cual biyección escojamos entre los naturales y los racionales tendremos una diferente densidad de Z en Q? Cuál es la definición formal de densidad? Gracias y saludos! Quieres decir que dependiendo de cual biyección escojamos entre los naturales y los racionales tendremos una diferente densidad de Z en Q? Exactamente. Cuál es la definición formal de densidad? Ver la adenda a mi respuesta. |
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Puesto que la primera parte de la pregunta ya fue respondida me ocuparé de la segunda, esto es de la que reza:
Para ello vamos a partir de un ejemplo práctico: tomemos todas las fracciones con denominador 1, tal que: También puedes ejemplificarlo con fracciones donde se mantenga el numerador. Esto de los cardinales infinitos me da dolor de cabeza cuando intento pensarlo XD Tu razonamiento me parece intachable, pero también me lo parece el del 0.5 de Rantamplán: Enumero los racionales (positivos) poniendo primero el 1, luego mi primer racional no entero, luego el 2, otro racional no entero, etc. Cojo uno al azar: P{entero} = 0.5. Evidentemente, si eso se me permite (y no veo por qué no), puedo hacer trampa y poner 2 naturales, luego un racional no entero, luego otros 2 naturales, etc., y me sale una probabilidad de 2/3. O cualquier probabilidad (racional) que me dé la gana. Por eso me duele la cabeza XD ¿Dónde está el truco ahí? ¿En cómo se "escoge al azar" algo? Lo destacable es que tiende a 0, no que de hecho sea 0 (si nos atenemos a la práctica, donde en verdad el concepto de infinito se hace impracticable). Conforme vayamos avanzando en el análisis de fracciones, conforme el denominador sea mayor, las probabilidades de encontrar entre esas fracciones una cuyo cociente sea un número natural y su resto 0 es mínima; la razón es tan sencilla como que la función de los múltiplos es del tipo: f(x)=(x, 2x, 3x...) Entiendo que tiende a 0 cuando el la secuencia que estás usando (denominadores más grandes cada vez) acaba habiendo una infinidad de no enteros (en el límite) entre cada par de enteros. Pero siendo ambos conjuntos numerables, ¿no puedo yo encontrar una secuencia en la que suceda justamente lo contrario? En la cual, yendo al límite (incorporar a todos los racionales), haya metido una infinidad de naturales entre cada par de racionales no enteros. Existiendo una biyectividad entre ambos conjuntos, debería ser trivial hacerlo. Y entonces el razonamiento llevaría a "en el límite, la separación entre dos racionales no enteros es infinita", de modo que la probabilidad de pillar un entero tiende a 1. El que ambos sean numerables no significa más que el hecho de poder establecer una función entre los naturales y los racionales del tipo: f(1)=0, f(2)=1, f(3)=0,5 etc. Dicho lo cual sólo serviría para tener una sucesión ordenada de los racionales, pero el caso es que rantamplan habla del conjunto de los números racionales, luego la sucesión ya la ha dado él. Yo la he ordenado de una manera, tu puedes ordenarla de otra, pero independientemente del orden si se hace para el conjunto de los racionales la probabilidad tiende a 0% (en cualquier caso quedad a la espera de una formulación más generalizada y menos burda que la que yo he presentado) A ver si me sale. Defino la sucesión de racionales no enteros r(n). Ahora aplico tu esquema: Empiezo con todas las fracciones de denominador 1: 1/1, 2/1, 3/1, ... Pero cambio cada número entero i por su correspondiente racional no entero r(i). Tengo en este primer paso que la probabilidad de encontrar un entero es 0. Ahora vamos a denominador 2: 1/2, 2/2, 3/2, ... Cambio cada entero i por su correspondiente r(i), y cada racional no entero por el nº natural que me indica su posición en r(n). Probabilidad de encontrar un entero: 50% Cuando llego al denominador 700, y tras hacer mi cambio de enteros por no enteros y viceversa, tengo una probabilidad de 699/700 de encontrar un entero. En el límite (denominador infinito), la probabilidad de encontrar un entero tiende a 1. I need aspirina XD Lo he leído un par de veces y no entiendo tu razonamiento. Si en el primer caso estás sustituyendo todos los racionales que son expresión de un natural, evidentemente la probabilidad es 0. Para ello creo que la respuesta de gmedina es acertada dado que alude al problema que supone plantear este problema sin que en el enunciado se formule una disposición clara del conjunto de los racionales. Una manera más fácil de explicar el razonamiento ese: Tengo una correspondencia uno a uno entre los naturales y los racionales no enteros (puedo crearla puesto que ambos conjuntos son enumerables). De modo que en cualquier sucesión de racionales (p.ej. en 1/3, 2/3, 3/3, ...) puedo cambiar todos los enteros por su no-entero correspondiente, y todos los no-enteros por su entero correspondiente (usando mi biyección). Pues si hago esto con todos los pasos de tu argumento que llevaban a P{entero} = 0, resulta P{no-entero} = 0. (En tu argumento, los números de cada sucesión que creas están ordenados por tamaño - 1/7 < 2/7 < 3/7 < ... -. Si haces el cambio que digo yo, ya no lo están. Pero no veo por qué eso iba a ser un problema.)
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Hay que tener cuidado con los infinitos... El argumento de Jorge de ordenar los racionales y luego coger uno al azar, y que salen diferentes probabilidades según cómo los haya ordenado, me recuerda otra curiosa "paradoja" (que no es tal). Se trata de un juego en el que hay infinitas monedas y por turnos tú y yo vamos cogiendo. Yo puedo tomar dos, y a continuación tú puedes coger una cualquiera de las monedas que yo tengo (de las que acabo de coger o de las que ya tenía). La pregunta es ¿tenemos "al final" igual número de monedas? Y la curiosa respuesta es que depende del algoritmo que uses para coger una de mis monedas. Imaginemos que todas las monedas están numeradas. En cada turno yo cojo dos consecutivas (la n y la n+1) y tú me quitas la n+1. Al final yo termino con todas las impares y tú con todas las pares. Empatados. Pero ahora imagina que en cada turno yo cojo dos monedas (la n y la n+1) y tú me quitas, de entre las que yo ya tenía, la de número más bajo. ¡En este caso está claro que al final las tienes tú todas y yo ninguna! Me duele la cabeza a mí también de pensarlo. Moraleja: creo que hay que definir mejor qué es eso de coger un "número racional al azar". Una posibilidad sería coger un par de enteros al azar y hacer su cociente. Pero se me escapa cómo calcular la probabilidad de que salga un entero en ese caso. [Nota: esto debería ser un comentario, pero no me cabe... ¿qué he de hacer en estos casos?] [Nota: esto debería ser un comentario, pero no me cabe... ¿qué he de hacer en estos casos?] Puedes escribir varios comentarios, uno tras otro. No logro entender la paradoja, si como dices el sujeto A puede coger dos y el sujeto B sólo puede coger una cualquiera de entre las de A, no es posible que el sujeto A se quede con 0 monedas. No veo como afecta el "algoritmo" de B a la hora de tomar su decisión, al cálculo final. Dime el número de una de mis monedas que no acabe en las manos de B. Mi moneda número N, pasa a ser de B en el paso N. Pero si siempre tomas dos: n y n+1 y tu adversario sólo puede quitarte una (o n o n+1) entonces siempre quedaréis empatados. No entiendo qué importancia tiene cuál de las dos te sustraiga, si al fin y al cabo de dos siempre te sustrae una. Tu moneda número N pasa a ser de B en el paso N... momento en el cual tú tienes las monedas de N+1 a 2N. ¡Chúpate esa, B! XD Estoy de acuerdo con que todo depende de cómo definamos "coger uno al azar". Gargonslipfisk: no, B puede quitarte cualquiera de tus monedas, incluidas las que tenías de pasos anteriores. No necesariamente una de las dos que acabas de coger. Y el truco es que en el paso 1 tú coges las monedas 1 y 2 y B te quita la 1. En el paso 2, coges 3 y 4 y te quita la 2. En el paso siguiente coges 5 y 6 y te quita la 3, etc.. Te las va quitando todas, y aunque siempre le sacas ventaja, cualquiera de tus monedas tarde o temprano pasará a B.
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En un conjunto infinito y numerable no es posible elegir al azar con probabilidades equiprobables. La pregunta es muy interesante porque gracias a ella nos damos cuenta de esto. |
Es posible que te resulte problemático el concepto de cardinalidad puesto que reitero que esta pregunta ya fue respondida en tu pregunta previa: decir que un conjunto es numerable es decir que posee la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales.
Tienes razón, acabo de estar leyendo un poco sobre lo que implica la cardinalidad.
Voy a re-editar la pregunta (despues del lio que estoy montando hoy) para plantear mi última duda (Si de esta no me gano un voto negativo dudo qeu lo haga nunca :P).
Nuevamente: Muchas gracias por la paciencia que estais teniendo todos.