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¿es el conjunto de los numeros racionales numerable?

Escribiendo un comentario en una pregunta sobre números irracionales me ha surgido otra pregunta que iba a formular pero no puedo hasta estar seguro de la respuesta a esta pregunta.

Creo que hace tiempo leí que el conjunto de los números racionales era numerable mediante un algortimo lógico, sin embargo no logro acordarme del algoritmo y por mas que busco en internet no encuentro nada al respecto así que ya empiezo a dudarlo.

Total, la pregunta es esa: ¿es el conjunto de los numeros racionales numerable?

Y antes de liarla con nomenclatura: por numerable entiendo Que por medio de algún algoritmo lógico es posible encontrar la posición de un número racional dentro de su conjunto de forma univoca y biceversa.

Es decir algo del estilo de: ¿que posición ocupa el 321/542? la trecemil cuatrocientas tres.

¿Cual es el número racional que ocupa la posición trece mil cuatrocientas tres? el 321/542.

un saludo y gracias.

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preguntado el 10/02/11 a las 11:18

rantamplan
785●1●7

reetiquetado el 10/02/11 a las 14:17

Gargonslipfisk
347●1●8

2 Respuestas:

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Sí, es numerable.

Lo que no hay es un orden preestablecido, es decir, los puedes ordenar como convenga.

Por cierto, en TIO PETRUS hay una mgnífica explcación del proceso de numeración de los racionales:

http://tiopetrus.blogia.com/2003/111301-la-insoportable-levedad-del-conjunto-q.php

Básicamente, ordenas TODAS las fracciones positivas e irreducibles, según la suma del numerador y denominador.

Para cada $n\in{\Bbb N}$ , el conjunto $F(n)$ de las fracciones irreducibles positivas $\frac{p}{q}$ tales que $p+q=n$ , es siempre FINITO, luego lo puedes ordenar como te dé la gana (según orden creciente del numerador, por ejemplo).

Así, en primer lugar estará $F(0)$ , en segundo lugar los números de $F(1)$ ordenados como quieras, después los de $F(2)$ y así sucesivamente.

respondido el 10/02/11 a las 12:16

eliatron
50●4

editado el 10/02/11 a las 13:21

Askedton
3162●2●9

El conjunto de los números racionales es numerable. La forma más fácil de demostrar esta afirmación es demostrando que el conjunto $\mathbb{Q}$ tiene la misma cardinalidad que $\mathbb{N}$ , para ello vamos a ordenar las fracciones en una matriz infinita:

$\frac{0}{1}$

$\frac{-1}{1}\frac{1}{1}\frac{-1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{3}\frac{1}{3}\frac{-1}{4}\frac{1}{4}...$

$\frac{-2}{1}\frac{2}{1}\frac{-2}{2}\frac{2}{2}\frac{-2}{3}\frac{2}{3}\frac{-2}{4}\frac{2}{4}$

$\frac{-3}{1}\frac{3}{1}\frac{-3}{2}\frac{3}{2}\frac{-3}{3}\frac{3}{3}\frac{-3}{4}\frac{3}{4}$

$\frac{-4}{1}\frac{4}{1}\frac{-4}{2}\frac{4}{2}\frac{-4}{3}\frac{4}{3}\frac{-4}{4}\frac{4}{4}$

Si seguimos las flechas tachando cada número cuyo valor ya haya sido expresado con anterioridad nos queda la siguiente enumeración: 0, 1 , 2, 1/2, 1/3, -1/2, -1, 2, 3/2, -1/3... Ahora podemos establecer una función biyectiva tal que $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}$ de tal suerte que: f(1)=0, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=1/2, f(5)=-1/3, f(6)=-1/2...

respondido el 10/02/11 a las 12:37

Gargonslipfisk
347●1●8

editado el 10/02/11 a las 13:50

Hay que modificar levemente tu razonamiento para incluir los racionales negativos y el cero.

( el 10/02/11 a las 13:07) gmedina

No hay mucha diferencia, usé fracciones de enteros positivos para que resultara más fácil, pero si lo consideráis deseable lo edito.

( el 10/02/11 a las 13:11) Gargonslipfisk

Ya que luego de la lista hablas de la biyección hacia todos los racionales (y no solo hacia los positivos) me parece que sería mejor una de dos: 1) Agregar convenientemente los racionales faltantes en tu lista 2) Decir que tu proceso produce una biyección entre N y los racinales positivos y explicar cómo rápidamente se puede luego extender el resultado a todo Q.

( el 10/02/11 a las 13:15) gmedina

Hay que rehacer la matriz >.<

( el 10/02/11 a las 13:41) Gargonslipfisk

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Etiquetas de la pregunta:

matemáticas ×87
teoría-de-conjuntos ×6

pregunta formulada: el 10/02/11 a las 11:18

pregunta vista: 2,562 veces

última actualización: el 10/02/11 a las 14:17

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