¿Cómo se demuestra que una proposición no viola un conjunto de axiomas?

No sé si entiendo bien tu pregunta. Cuando dices que tenemos un conjunto "pequeño" de axiomas para que Goedel no moleste, ¿te refieres a que estamos en un sitema axiomático para el cuál es posible demostrar su compleción y consistencia? Si es así, es muy sencillo; cualquier cadena de símbolos (que sea una fbf, claro) que se haya obtenido a partir de los axiomas utilizando las reglas de inferencia del sistema será un teorema del sistema; como tenemos que el sistema es consistente, estamos seguros de que el nuevo resultado no nos va a llevar a contradicciones.

Por otro lado, no siempre que se demuestra existencia de un objeto exhibiéndolo explícitamente; el uso del axioma de elección, por ejemplo, permite demostrar existencia de objetos sin legar a exhibirlos explícitamente.

Las proposiciones se siguen siempre de los axiomas y no los violarán siempre que el razonamiento sea sintácticamente correcto, esto es: mientras las reglas lógicas se usen correctamente. Lo que ocurre, cuando se habla de no-consistencia, no es que la proposición contradiga al axioma, sino que dos proposiciones se contradicen habiendo sido derivadas correctamente de los axiomas. Entonces, la pregunta habría que reformularla tal que: ¿Cómo se demuestra la consistencia de un sistema? o lo que es lo mismo: cómo demostramos que de los axiomas no se derivan proposiciones contradictorias.

• • • EDITO: Ahora que ya entregué el problema que me originó esta pregunta, no tengo reparo moral en ser todo lo concreto que necesite :D Mi ejemplo: Partimos de los tres axiomas de la probabilidad, pero cambiando el tercero de manera que la medida de probabilidad sea sólo finitamente aditiva en vez de sigma-aditiva. Ahora cojo una partición de mi espacio de muestras y defino . Tendríamos, pues, que y, a la vez, . Sé que esto no es necesariamente contradictorio, de modo que mi definición no está violando los tres axiomas de los que parto. Pero ¿cómo pruebo que no los viola? (Siento la ambigüedad/confusión de términos de antes!)

Tienes que demostrar que la definición que has dado para la probabilidad, efectivamente satisface los tres axiomas (con la modificación que has hecho al tercero).