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¿Qué son los cardinales grandes?

2	¿Cuál es el papel de estos cardinales en la teoría de conjuntos? cardinalidad matemáticas teoría-de-conjuntos Comparte el conocimiento: preguntado el 02/02/11 a las 15:32 gmedina 1293●3●9 editado el 02/02/11 a las 15:34

Una Respuesta:

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Tomemos el conjunto de los números naturales (en lo sucesivo $\mathbb{N}$ ). Llamaremos ordinal a 1 y estableceremos que si n es un ordinal entonces su sucesor también lo será. Ahora bien, existe en esta sucesión ordenada {n} un ordinal mayor que todo n perteneciente a {n}, a este ordinal lo denominaremos: $\omega$ . Como este proceso es recursivo podemos establecer la siguiente serie: $\omega$ +1, $\omega$ +2, ... 2 $\omega$ , 2 $\omega$ +1, ... hasta legar a $\omega^{\omega}$ . Todos ellos son ordinales tansfinitos, aquellos que son mayores que cualquier número natural. El cardinal del primer ordinal transfinito se designa mediante $\aleph_0$ y es el cardinal de $\mathbb{N}$ . Por el teorema de Cantor tenemos que $\aleph_0<2^{\aleph_0}$ ; el primer ordinal no numerable, que se denota $\omega_1$ , corresponde al cardinal $2^{\aleph_0}$ . Decimos de él que no es numerable porque su cardinalidad es distinta a la del conjunto $\mathbb{N}$ , esto es: no podemos establecer una correspondencia uno-a-uno (función biyectiva) entre cada uno de los elementos de ambos conjuntos porque no tienen el mismo número de elementos (distinta cardinalidad). Una de las grandes contribuciones de Cantor es la que acabamos de ver: la demostración de la existencia de infinitos de distinto tamaño.

Existe un cierto tipo de cardinal transfinito, los conocidos como grandes cardinales, mayores que $\aleph_0$ o $\aleph_1$ . Dentro de este tipo de cardinales encontramos una gran variedad de cardinales según su tamaño que no me voy a detener a enumerar.

(Si se entiende trataré de contestar a la segunda parte de la pregunta)

respondido el 05/02/11 a las 21:05

Gargonslipfisk
347●1●8

editado el 06/02/11 a las 18:48

Gracias, creo que ya está corregido.

( el 05/02/11 a las 22:56) Gargonslipfisk

"Ahora bien, existe en esta sucesión ordenada {n} un ordinal mayor que todo n perteneciente a {n}"

Puedes explicar esto un poco más cláramente?

Gracias

( el 06/02/11 a las 07:34) Bala

Veamos si así se entiende mejor. Toma la sucesión ordenada de los números naturales {1, 2, 3...}, ahora vamos a "imaginarnos" al mayor número de esta sucesión ("el infinito") y convengamos en llamarlo "omega" (luego podemos generalizar para obtener números mayores). Y si identificamos estos números ordinales mediante conteo tal que: 1={1}, 2={1, 2} etc. entonces tenemos los cardinales y para {omega}=aleph_0.

( el 06/02/11 a las 12:31) Gargonslipfisk

Hay incorrecciones aquí: "Todos ellos son ordinales transfinito, aquellos que son mayores que cualquier número natural, cuya cardinalidad se designa mediante (el primer cardinal transfinito), el cardinal de . Por generalización se obtiene que que es igual a , obteniendo de este modo el primer ordinal no numerable ." (no se ven las fórmulas en LaTeX).

Creo que querías poner algo como: Todos ellos son ordinales tansfinitos, aquellos que son mayores que cualquier número natural. El cardinal del primer ordinal transfinito se designa mediante aleph_0 y es el cardinal de mathbb{N}. Por el teorema de Cantor tenemos que aleph_0 < 2^{aleph_0}; el primer ordinal no numerable, que se denota omega_1, corresponde al cardinal 2^{aleph_0}.

P.S.: elimino mi comentario anterior pues ya sobra.

( el 06/02/11 a las 14:48) gmedina

Ves, al final terminas respondiéndote a ti mismo, es inevitable.

( el 06/02/11 a las 18:50) Gargonslipfisk

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Etiquetas de la pregunta:

matemáticas ×87
teoría-de-conjuntos ×6
cardinalidad ×1

pregunta formulada: el 02/02/11 a las 15:32

pregunta vista: 1,650 veces

última actualización: el 06/02/11 a las 18:50

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