¿Tiene sentido lógico el trilema de Münchhausen?

No tiene mayor calado que el que se le concede para recalcar la imposibilidad de una verdad última. Desde este punto de vista es un razonamiento lógico que atañe a la epistemología. Como bien mencionas de las tres alternativas que se derivan del planteamiento dos de ellas son falaces (atentan contra la lógica), la última en cambio no, prueba de ello son las matemáticas y el fundacionalismo (que atañe a todo el grueso de la filosofía, con excepción patente del escepticismo que aquí se discute). El problema, obviamente, es que la verdad de los axiomas no puede certificarse; mas no obsta para que de él se sigan, con verdad, otras proposiciones. Por eso diferenciamos entre semántica y sintaxis: con semántica referimos a la verdad o falsedad de un juicio, mientras que por sintaxis hablamos de la verdad o falsedad de la deducibilidad de los resultados; esto es, que se apliquen correctamente las reglas lógicas. Así, si se aplican correctamente las reglas lógicas a un axioma verdadero, sabemos con certeza que todo el sistema atiende a la verdad. Mas, es imposible que el axioma sea verdadero, pues por definición un axioma es algo que se asume como evidente, que no requiere pruebas. Según dicho así funciona la física, mediante el método inductivo permite efectuar juicios de los cuales deducir, de acuerdo a determinadas reglas, una serie de proposiciones. No obstante, el método inductivo no es fiable, pues él mismo es inductivo (crítica de Hume).

Por otra parte, a nivel filosófico, la definición de verdad está constantemente sometida a estudio y, en este sentido, el coherentismo es una teoría que ha resuelto el problema a base de evitarlo, pasa de postular la verdad como una relación de identidad entre cosas y lenguaje, a mera relación lenguaje-lenguaje. De este modo, para el coherentismo no existe la verdad de un sistema, sino sólo en tanto que consistencia (lo que no es nada alentador). En cualquier caso no es un problema excesivamente grave, y toda la ciencia y la filosofía han funcionado sin prestarle excesiva atención, de hecho hoy en día las pretensiones absolutistas están prácticamente desechadas.

Como punto de reflexión puede aplicarse el argumento que presentas a la misma proposición en él enunciada, y es algo que se ha hecho a todos los niveles constantemente: no es necesario poner ejemplos en filosofía, pero en matemáticas las geometrías imaginarias surgen de poner en duda el 5º axioma de Euclides y en lógica ya se ha hablado en esta misma web del intuicionismo que niega el principio de tercio excluso.

Esta pregunta tiene dos caras: una, desde la perspectiva matemática y otra, desde la teoría del conocimiento. Te contesto desde el punto de vista de la matemática: la lógica es un sistema formal y, como tal, parte de axiomas; se adopta sin problemas la tercera variante del trilema; es decir, se parte (como en todo sistema formal) de un conjunto de axiomas, a partir de los cuales demostramos nuevos resultados usando las reglas de inferencia. Matemáticamente hablando, no interesa saber si se llega a "certezas" o a verdades últimas; interesa tener un sistema lo suficientemente fuerte y expresivo como para poder hacer matemáticas con él. En otras palabras, desde la matemática, no hay ningún trilema... sencillamente se sigue la tercera opción puesto que así es como se trabaja con sistemas formales.

Ya que en las etiquetas de tu pregunta no aparece "matemáticas", tal vez te interesa más es una respuesta desde el punto de vista de la teoría del conocimiento; si es así, tendrás que esperar que alguien más responda.