¿Curvatura del espacio?

No. El paralelismo está definido de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si prolongadas indefinidamente, en ambos sentidos, no se cortan; en particular, la noción de paralelismo es global y no local y no tiene sentido hablar de rectas paralelas en un punto y no paralelas en otro.

En geometría euclidiana paralelismo y equidistancia resultan ser nociones equivalentes; es decir, dos rectas son paralelas si y solo si son equidistantes. En la geometría de Gauss-Bolyai-Lobachevsky (hiperbólica), por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas a la recta y la distancia entre dos paralelas puede hacerse tan pequeña como se quiera, aunque las rectas no se cortan nunca. En la geometría no euclidiana Riemanniana (esférica) no hay rectas paralelas.

Como bien te ha respondido gmedina, las rectas o bien no se encontrarían nunca, o bien, si llegan a encontrarse, es que no eran paralelas. Sin embargo querría extenderme más sobre este último caso.

Imagina que la tierra es una esfera perfecta y te hallas en su ecuador, y que trazas sobre el suelo una "recta" perpendicular al ecuador y a su lado otra también perpendicular. Ambos ángulos de 90 con respecto al ecuador los mides con absoluta precisión. Como comprenderás, lo que estás trazando no son en realidad dos rectas, sino dos meridianos muy próximos y por tanto se cortarán en los polos. Sin embargo, a tu escala humana, desde el ecuador estas rectas te parecerían paralelas, y si no supieras que estás sobre una esfera, sino que creyeras estar sobre un plano, entonces estarías totalmente convencido de que ambas rectas son paralelas, ya que ambas son perpendiculares a otra recta (el ecuador). Naturalmente no sabes que tales "rectas" son en realidad círculos. Si caminaras hacia el norte siguiendo estas rectas, te quedarías perplejo al comprobar que se van juntando y llegan a encontrarse.

Algo similar podría ocurrir si la curvatura del espacio fuera esférica (en una cuarta dimensión). Podríamos tener dos rectas "aparentemente paralelas" (a nuestra pequeña escala) que, no obstante, prolongadas suficientemente se cortaran. Naturalmente no serían en realidad paralelas.

También te sorprenderá saber que en estas geometrías es posible trazar triángulos cuyos ángulos no sumen 180 grados (por ejemplo, imagina un enorme triángulo sobre la esfera terrestre, que se apoye en dos meridianos que se cortan a 90 grados en el polo, y el ecuador, con el que se cortan también a 90 grados. ¡Sus ángulos sumarían 270 grados! Y también pi cambiaría su valor, entendiendo pi como la relación entre la longitud de una circunferencia y la longitud de su diámetro (otra vez piensa en un círculo trazado sobre una esfera, en la que el "diámetro" que medirías para ese círculo sería curvo, al ser medido sobre la superficie de la esfera, y por tanto más largo que su diámetro real, que sería su cuerda).

De hecho, estas serían formas experimentales de demostrar que nuestro espacio tridimensional no es "plano". Esto es, si pudiéramos medir con suficiente precisión el diámetro de un gran círculo y su perímetro, y al dividirlos no saliera exactamente el valor conocido de pi, o si pudiéramos medir exactamente los ángulos de un gran triángulo y su suma no fuera 180.